Расчет фермы с одной избыточной связью (затяжкой)

Исходные данные:

Цель расчета - поиск усилий во всех стержнях фермы (всего 46).

1) Определяем степень статической неопределенности

Y - количество узлов фермы (затяжка считается за один стержень), С - число стержней, С₀ - число связей.

2) Из исходной схемы получаем основную систему путем замены затяжки единичными силами

3) Находим реакции опор А и В

Для этого:

1) Чертим в масштабе план сил (Р₁, Р₄, Р₅) и находим равнодействующую;

2) На плане сил произвольно задаем точку О и соединяем ее отрезками (1, 2, 3, 4) с концами векторов сил;

3) На поле сил произвольно проводим прямую, параллельную отрезку 1, и находим точку пересечения этой прямой с силой Р₁. Из найденной точки проводим прямую, параллельную отрезку 2, и находим точку пересечения этой прямой с силой Р4. Из найденной точки проводим прямую, параллельную отрезку 3, и находим точку пересечения этой прямой с силой Р5. Из найденной точки проводим прямую, параллельную отрезку 4, и находим точку пересечения этой прямой с прямой 1. Из найденной точки проводим прямую, параллельную вектору равнодействующей R. Т.к. реакция R_B направлена по вертикали, находим точку пересечения линии ее действия с прямой, параллельной R. Соединяем конечную точку с точкой А и находим линию действия реакции R_A.

4) Через концы равнодействующей R на плане сил проводим прямые, параллельные линиям действия реакций и находим точку их пересечения. Направление векторов реакций выбираем так, чтобы их геометрическая сумма вместе с вектором равнодействующей давала 0.

5) Замеряем длины реакций линейкой, значение в мм делим на масштаб и получаем значения реакций в кН.

6) Это был графический метод. Для проверки рассчитываем реакции аналитически.

Для поиска реакции R_B аналитически необходимо взять сумму моментов относительно точки А. Для поиска реакции R_A аналитически необходимо разложить ее на вертикальную и горизонтальную составляющие. Y_A находим через сумму моментов относительно точки В. Х_А находим через сумму проекций сил на ось Х.

4) Переходим к построению диаграммы Максвелла-Кремоны

Сначала разбиваем всю схему на области. Смысл в том, чтобы любую силу (внешнюю или внутреннюю) можно было определить двумя точками. Например, стержень 1 лежит между облостями k и α. Поскольку все стержни работают только на растяжение или сжатие, то линия действия каждой силы в каждом конкретном стержне совпадает с самим стержнем.

Далее выбираем направление обхода (в данном случае по часовой стрелке) и чертим план сил в масштабе с соблюдением выше сказанного правила (сила Р₁ расположена между областями α и β, сила Р4 - между β и Х и т.д.).

Теперь приступим к поиску внутренних усилий. Начинаем с области k. Стержень 1 лежит между α и k, значит проводим из точки α прямую, параллельную стержню 1. Стержень 2 лежит между ε и k, значит проводим из точки ε прямую, параллельную стержню 2. Получаем точку их пересечения k. 

Продолжим в области l. Стержень 4 лежит между α и l, значит проводим из точки α прямую, параллельную стержню 4. Стержень 3 лежит между l и k, значит проводим из точки k прямую, параллельную стержню 3. Получаем точку их пересечения l. В данном случае она совпадает с точкой k. Это означает, что в стержне 3 не возникает никаких усилий, а усилие в стержне 4 равно усилию в стержне 1.

Так, двигаясь снизу вверх, находим усилия во всех стержнях.

Теперь найдем знаки усилий. Для примера рассмотрим стержень 18. Выберем узел на стыке стержней 12, 13, 15, 16, 18. Т.к. ранее мы взяли направление обхода по часовой стрелке, то относительно выбранного узла последовательность прохождения областей будет от r к s. Теперь обратимся к диаграмме: вектор будет направлен в строну s, что соответсвует сжатому стержню, значит усилие имеет знак минус.

Теперь для подтверждения верности решения для того же стержня выберем узел на стыке стержней 17, 18, 19, 20. Т.к. ранее мы взяли направление обхода по часовой стрелке, то относительно выбранного узла последовательность прохождения областей будет от s к r. Теперь обратимся к диаграмме: вектор будет направлен в строну r, что соответсвует сжатому стержню, значит усилие имеет знак минус, как и в предыдущем случае.

5) Теперь построим эту же диаграмму для единичных нагрузок

Принцип построения тот же самый: задаем области, проводим вектор единичной нагрузки Х в масштабе, обозначаем α и β; построение начинаем с области k, затем l, потом m и т.д. Поскольку ферма симметрична, диаграмму можно построить до стержня 23.

6) Расчет

Расчет представляем в табличном виде. Первые 3 колонки заполняются исходными данными, 4 и 5 заполняются посредством диаграмм, а 6, 7 и 8 расчитываются. Разберем заполнение поэтапно:

1) 1 колонка - номер стержня.

2) 2 колонка - площадь сечения каждого стержня.

3) 3 колонка - длина каждого стержня.

4) 4 колонка - измеряем длины усилий в каждом стержне, делим на масштаб и в соответствии со знаком (растянут - "+", сжат - "-") заносим в таблицу (подробности смотри в пункте 4).

5) 5 колонка - измеряем длины единичных усилий в каждом стержне, делим на масштаб и в соответствии со знаком (растянут - "+", сжат - "-") заносим в таблицу (подробности смотри в пункте 5).

6) 6 колонка - расчитывается отдельно для каждой строчки по формуле

При этом, в затяжке (стержень 44) ставим 0. Е =2.1*10⁵ МПа - модуль упругости 1-го рода (Юнга).

7) 7 колонка - расчитывается отдельно для каждой строчки по формуле

При этом, усилие в затяжке рассчитывается по формуле справа.

8) 8 колонка - суммируем построчно все значения в колонках 6 и 7 и находим промежуточное значение Х по формуле

Полученное значение Х заносим в ячейку (колонка 8, строка 44), т.е. найденная величина есть усилие в затяжке.

Усилия в остальных стержнях рассчитываем построчно по формуле

На этом расчет окончен!

Работу я оформлял на А1, вот файл pdf + прилагаю таблицу xlsx в excel.

Естественно, во время работы можно совершить массу ошибок, поэтому для проверки рекомендую использовать программу KPAH_PK4.exe для расчета стержневых конструкций методом конечных элементов, разработанную в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

В архиве прилагается инструкция по использованию, тем не менее добавлю немного от себя:

Рассчет проводится в 3 этапа:

1) Запускаем программу KPAH_PK4.exe. В меню "Создать" выбираем подменю "Строймех 3-е д.з.". Задаем исходные данные (геометрию конструкции, площади стержней, внешние нагрузки, опоры конструкции). Сохраняем файл и выходим из текущего окна.

2) Жмем на "расчет", выбираем файл, получаем набор файлов с результатами.

3) Создаем текстовый файл (расширение .txt) и открываем с его помощью файл с расширением .dz3. 

В результате должна появиться таблица, которую можно сравнить с нашим расчетом.