Построение ЛАЧХ и ФЧХ
Технические науки -> Управление в технических системах

Построение ЛАЧХ и ФЧХ

Само построение довольно шаблонно, разберем один пример максимально подробно.

Пример 1

Дана передаточная функция

Разбиваем функцию на звенья

  • К = 40 – безинерционное звено.
  • W1(S) = 1/S – интегральное звено.
  • W2(S) = 1/(5S + 1) – апериодическое звено.
  • W3(S) = 1/(0.12S2 + 0.12S + 1) – колебательное звено, т.к. дискриминант знаменателя меньше нуля. Если бы был больше, дробь разложилась бы на еще два апериодических звена.
  • W4(S) = 1/(0.01S + 1) – апериодическое звено.
  • W5(S) = (S + 1) – дифференциальное звено 1-го порядка.

Подробнее о типах звеньев Попов-Е.П.Теория-линейных-систем-автоматического-регулирования-и-управления.1989.pdf стр. 25 - 43.

Находим периоды (коэффициент при S) и частоты звеньев

      1)  W1(S) => T1 = 1 с;   ω1 = 1/T1 = 1 с-1

      2)  W2(S) => T2 = 5 с;   ω2 = 1/T2 = 0.2 с-1

      3)  W3(S) => T3 = 0.1 с;   ω3 = 1/T3 = 10 с-1

      4)  W4(S) => T4 = 0.01 с;   ω4 = 1/T4 = 100 с-1

      5)  W5(S) => T5 = 1 с;   ω5 = 1/T5 = 1 с-1

Определяем наклоны прямых

Наклон прямой равен высшей степени функции

      1)  W1(S) = 1/S – наклон -1

      2)  W2(S) = 1/(5S + 1) – наклон -1

      3)  W3(S) = 1/(0.12S2 + 0.12S + 1) – наклон -2

      4)  W4(S) = 1/(0.01S + 1) – наклон -1

      5)  W5(S) = (S + 1) – наклон +1

Поскольку общая передаточная функция имеет степень -4, то на выходе прямая должна иметь наклон -4.

На графике наклоны определяются так

Приступим к построению

  • Сначала отметим частоты на абциссе, учитываем, что интегральное звено «приходит» без искажений слева, поэтому частоту для него отмечать не нужно. На ординате находим точку 20lgK = 20lg40 ≈ 32.
  • Строим прямую интегрального звена до первой точки перегиба.

  • После достижения ω2 вступает в силу звено W2, добавляем к существующему наклону -1.

  • После достижения ω5 вступает в силу звено W5, добавляем к существующему наклону +1. И т.д.

ФЧХ строится по ЛАЧХ. Нулевому наклону соответствует угол 0, -1 наклону соответствует угол –π/2, -2 наклону соответствует угол –π, -3 наклону соответствует угол –3π/2 и т.д. Просто проводим горизонтальные прямые и соединяем их вблизи точек перегиба.

Теперь найдем запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Находим точку пересечения ЛАЧХ с абциссой и опускаем вертикаль на ФЧХ. Расстояние между –π и кривой есть запас устойчивости по фазе.

Для нахождения запаса устойчивости по амплитуде находим точку пересечения ФЧХ с –π и проводим вертикаль. Расстояние между абциссой и ЛАЧХ и есть запас устойчивости по амплитуде.

Пример 2

Дан входной сигнал g(t) = 10sin10t. Определить установившийся сигнал x(t) на выходе.

Существует два способа решения.

Способ 1 (графический)

Методом структурных преобразований находим передаточную функцию и строим ЛАЧХ и ФЧХ

Общая формула сигнала g(t) = Asin(ωt + φ). Т.к. ω = 10, опускаем вертикаль на прямую и находим амплитуду -20. Далее из формулы 20lgk = -20 находим коэффициент k = 0.1. По ФЧХ определяем, что сигнал на выходе имеет отклонение по фазе –π.

Находим искомую функцию x(t) = kAsin(ωt + φ) = 0.1*10sin(10t – π) = sin(10t – π).

Способ 2 (аналитический)